Barisan Dan Deret

Pengertian

Barisan bilangan adalah bilangan yang tersusun menurut aturan tertentu, sehingga suku-sukunya merupakan fungsi dari n, n ∈ bilangan asli

Barisan aritmatika adalah suatu barisan dengan selisih atau beda antara dua suku yang berurutan selalu tetap.

Barisan geometri adalah suatu barisan dengan rasio (pembanding/pengali) antara dua suku yang berurutan selalu tetap.

Deret bilangan adalah penjumlahan dari suku-suku barisan

Barisan Dan Deret Aritmatika

Ciri dari barisan aritmatika adalah beda atau selisih dari dua suku berurutan selalu tetap.

a   = suku pertama

b   = beda

Un = suku ke-n

Sn = jumlah n suku pertama

Jika di antara bilangan a dan p disisipkan n buah bilangan dan membentuk sebuah barisan/deret aritmatika, maka beda barisan/deret tersebut adalah: b = (p -a)/(n+1).

Untuk n ganjil, maka suku tengahnya (Ut) adalah : Ut = (a+ Un)/2

Un = Sn - Sn-1

Barisan Dan Deret Geometri

Ciri dari barisan geometri adalah rasio (pembanding/pengali) antara dua suku yang berurutan selalu tetap.

a   = suku pertama

r   = rasio

Un = suku ke-n

Sn = jumlah n suku pertama

Untuk n ganjil, maka suku tengahnya (Ut) adalah : Ut = √(a.Un)

Deret geometri tak hingga adalah deret geometri yang penjumlahanya sampai suku tak hingga.

Deret geometri mempunyai jumlah/limit/konvergen jika -1 < r < 1

Contoh Soal Dan Pembahasan

1. Tentukan 3 suku berikutnya dari barisan  5, 8, 11, 14,...

Penyelesaian :

Pola barisan bilangan diatas adalah bertambah 3 dari sulu sebelumnya.
Jadi 3 suku berikutnya dari barisan bilangan di atas adalah 17, 20, 23


2. Tentukan 3 suku pertama dari barisan yang ditentukan Un = 3n - 5

Penyelesaian :
Substitusi n = 1,2,3
Un = 3n - 5
U1 = 3.1 - 5 = -2
U2 = 3.2 - 5 =  1
U3 = 3.3 - 5 =  4
Jadi 3 suku pertama dari barisan tersebut adalah -2, 1, 4

3. Tentukan rumus suku ke-n dari barisan bilangan 5, 9, 13, 14, ...

Penyelesaian :
Suku pertama a = 5
Beda barisan = U2 -U1 = 4
Un = a + (n - 1)b
Un = 5 + (n - 1).4 = 5 + 4n - 4
Un = 4n + 1

4. Hitung jumlah 6 suku pertama dari 3, 8, 13, 18,...

Penyelesaian :
a = 3, b = 5, n = 6

Sn = n/2 [2a + (n - 1).b]
Sn = 6/2 [2.3 + (6-1).5]  = 3 (6+25) = 3. 31 = 93 

5. Suku ke 3 dan suku ke 7 suatu barisan aritmatika berturut-turut adalah 8 dan 28. Tentukan jumlah 10 suku pertama barisan tersebut!

Penyelesaian :
U3 = a + (3-1)b = a + 2b =  8
U7 = a + (7-1)b = a + 6b = 28  -
                                -4b = -20
                                   b = 5
cara cepat b = U7 - U3
                           7 - 3 

a + 2b = 8
a + 2.5 = 8
a + 10 = 8
a = 8-10 = -2

Sn = n/2 [2a + (n - 1).b]

Sn = 10/2 [2.(-2) + (10 -1).5] = 5 [-4 + 45] = 5 . 41 = 205

6. Jumlah n suku pertama suatu deret aritmatika adalah Sn = n² + 3n. Suku kelima barisan tersebut adalah...

Penyelesaian :

Un = Sn - Sn-1 = S5 - S4

     = [ 5² + 3.5] - [4² + 3.4]

     = [25 + 15] - [16 + 12]

     = 40 - 28 = 12

7. Di antara bilangan 9 dan 111 disisipkan sebanyak 33 bilangan, sehingga bilangan semula dan bilangan-bilangan yang disisipkan membentuk barisan aritmatika. Tentukan suku kedua puluh satu barisan tersebut adalah....

Penyelesaian :

b = (111 - 9)/ (33+1) = 102/34 = 3

Un = a + (n-1)b = 9 + (21-1).3 = 9 + 60 = 69

8. Jumlah n suku pertama suatu barisan aritmatika dirumuskan dengan Sn = n² -3n. Maka suku ke-10 barisan tersebut adalah...

Un = Sn - Sn-1
U10 = S10 - S9
       = (10² -3.10) - (9² -3.9)
       = (100 -30) - (81-27)
       = 70 - 54 = 16

9. Tentukan suku ke-n dari barisan berikut 4,12, 36, 108, ...

Penyelesaian :

a = 4, r = 12/4 = 3

Un = a.r^n-1

Un = 4.3^n-1


10. Tiga bilangan membentuk barisan geometri. Jika hasil kali ketiga bilangan adalah 8.000, dan jumlah bilangan terkecil dan terbesar adalah 104. Maka rasio barisan tersebut adalah...

Penyelesaian :

U1.U2.U3 = 8.000
a.ar.ar² = 8.000
a³r³ = 8.000
(ar)³ = 20³
ar = 20, a = 20/r
a + ar² = 104
a (1+ r²) = 104
20/r (1+r²) = 104
20 (1+r²) = 104.r
20 + 20r² = 104r
20r² - 104r + 20 = 0..... (:) 4
5r² - 26r + 5 = 0
(5r -1) (r-5) = 0
r = 1/5 atau r = 5
11. n - 1, n + 2, 3n adalah tiga suku pertama suatu barisan geometri. Jika n adalah bilangan
bulat positif, tentukanlah suku ke-empat barisan tersebut.

Penyelesaian :

ciri barisan geometri adalah rasio, dimana r = U2/U1 = U3/U2 = U4/U3 ....
maka U2/U1 = U3/U2
(n+2)/(n-1) = 3n/(n+2).... kali silang
(n+2)(n+2) = 3n(n-1)
n²+4n+4 = 3n² -3n
0 = 3n² -n² -3n - 4n - 4
0 = 2n² - 7n -4
0 = (2n+1) (n-4)

2n+1 = 0
n = -1/2 (tidak memenuhi)
n-4 = 0
n = 4 (memenuhi)
maka suku pertama adalah n-1 = 4-1 = 3
rasio adalah U2/U1 = (n+2)/(n-1) = (4+2)/(4-1) = 2
U4 = a.r³
= 3.2³ = 3.8 = 24

12. Suatu barisan geometri terdiri dari lima suku. Jika suku pertama barisan tersebut adalah 4
dan suku terakhirnya adalah 256, tentukan suku ke-3 barisan geometri tersebut.

Penyelesaian :
a = 4, U5 = 256
Un = a.r^n-1
U5 = a.r⁴
256 = 4.r⁴
r⁴ = 256/4 = 64
r = ∜64
r = 2√2

U3 = a.r²
     = 4.(2√2)²
     = 4.8 = 32

13. .Diketahui deret geometri 3 + 3² + 3³ + ...+ 3ⁿ = 363. Banyaknya suku pada deret tersebut adalah...

Penyelesaian :

a = 3, r = 3, Sn = 363
Sn       = a(.rⁿ-1)/ (r-1)
363      = 3( 3ⁿ  -1)/(3-1)
363      = 3( 3ⁿ  -1)/2
363.2/3 =  3ⁿ  -1
242       =  3ⁿ -1
243       =  3ⁿ 
n           = 5

14. Suku ke-2 dan suku ke-5 suatu barisan geometri adalah 14 dan 112. Suku ke enam barisan geometri tersebut adalah...

Penyelesaian :

U2 = a.r = 14
U5 = a.r⁴ = 112
     ar.r³ = 112
     14..r³ = 112

     .r³ = 112/14 = 8

      r = ∛8 = 2

ar   = 14

a.2 =14

a    = 14/2 = 7

U6 = a.r⁵

     = 7.2⁵
     = 7.32
     = 224


15. Tiga bilangan membentuk barisan geometri naik. Hasil kali dan jumlah bilangan tersebut berturut-turut adalah 512 dan 28. Suku ketiga barisan tersebut adalah...

Penyelesaian :

Hasil kali adalah  512
U1.U2.U3         = 512
(U2/r)(U2)(U2.r) = 512
(U2)³                = 512
U2                   = ∛512 = 8

Jumlah adalah 28
U1 + U2 + U3 = 28
U2/r + U2 + U2.r = 28
8/r + 8 + 8r = 28 
8r - 20 + 8/r = 0 .... (x) r/4
2r² -5r + 2 = 0
(2r-1)(r-2) = 0
2r-1 = 0
2r = 1
r = 1/2, atau
r-2 = 0
r = 2
Karena barisan tersebut adalah barisan geometri naik maka r = 2
U3 = U2.r = 8.2 =16

16. Jumlah tak hingga suatu deret geometri adalah 48, sedangkan jumlah suku-suku bernomor genapnya sama dengan 16. Berapakah rasio dari deret geometri tersebut?

Penyelesaian :

Sganjil + Sgenap = S∽
Sganjil + 16 = 48
Sganjil = 48 - 16 = 32

r = Sgenap  = 16 = 1
     Sganjil       32    2

17. Diketahui suatu deret geometri tak hingga 3 + 1,5 + 0,75 ....
Tentukanlah Jumlah tak hingga suku ganjil deret tersebut !

Penyelesaian :

a = 3, 
r = 1,5/3 = 0.5

Sganjil =    a      
              1 - r²
         =    3   
              1-0,5²
         =    3   
               0,75
         = 4

18. Pada bulan pertama Daffa menabung sebesar Rp 150.000,00, pada bulan kedua Rp 170.000,00 demikian seterusnya tiap bulan jumlah yang ditabung bertambah Rp 20.000,00. Besar tabungan Daffa setelah 1 tahun adalah...

Penyelesaian :

a = 150.000
b =  20.000
n = 12 bulan

S12 = 12/2 (2x150.000 + (12-1) 20.000)
       = 6 (300.000 + 220.000)
       = 6 (420.000)
       = 2.520.000

Jadi jumlah seluruh tabungan Daffa selama 1 tahun adalah Rp 2.520.000,00

19. Seutas tali dibagi menjadi enam potong dengan tiap bagiannya membentuk barisan geometri. Jika potongan terpendek adalah 2 cm dan potongan terpanjang adalah 486 cm, maka panjang tali semula adalah...

Penyelesaian :

a = 2
U6   = 486
a.r⁵  = 486
2..r⁵ = 486
r⁵      = 486/2 = 243
r      = 3

S6 = a (r⁶ -1)
           r-1
     = 2(3⁶ -1)
           3-1
     =  2 (729-1)
             2
     = 728

20. Sebuah bola dijatuhkan ke lantai dari tempat yang ketinggiannya 1,5 meter. Setiap kali bola memantul, bola mencapai ketinggian yang sama dengan 2/3 dari ketinggian yang dicapai sebelumnya. Panjang lintasan bola sejak dilemparkan sampai terhenti adalah...

Penyelesaian :

  Sturun = 1,5 + 1 +2/3 + 4/9 + ... 
            =   a     =   1,5    =   1,5    = 4,5
                1-r       1-2/3        1/3

Snaik = 1 + 2/3 + 4/9 +...
          =   a     =   1    =   1    = 3

              1-r      1-2/3     1/3

Panjang lintasan = Sturun + Snaik = 4,5 + 3 = 7,5 m