Notification

×

Kategori Berita

Cari Berita

Iklan

Iklan

Indeks Berita

Tag Terpopuler

Aturan Sinus, Cosinus dan Luas Segitiga

Jumat, 28 April 2017 | April 28, 2017 WIB Last Updated 2023-12-02T23:38:18Z
BIMBEL DIAH JAKARTA TIMUR | bimbel terbaik di jakarta timur | tempat bimbel murah di jakarta timur | Berkualitas | Line/Wa 081908041676



1. Aturan Sinus
Untuk memahami asal dari aturan sinus dalam segitiga, perhatikan △ ACD dan △BCD pada gambar di bawah ini :



















Sehingga untuk setiap segitiga sembarang berlaku Aturan Sinus sebagai berikut :₂










2. Aturan Cosinus

Perhatikan gambar berikut!
















b²  = CD²  +  AD² ..... (1)

Pada △BCD

Sin B = CD  ⇔ CD = a. Sin B... (2)
               a

Cos B = BD  ⇔ BD = a. Cos B... (3)
                a

AD = AB - BD = c - a. Cos B.... (4)

Jika kita substitusi ke persamaan (1) maka didapatkan

b² = (a. Sin B)² + (c - a. Cos B)²
b² = a². Sin² B + c² - 2.a.c. Cos b + a² Cos² B
b² = a² (Sin² B + Cos² b) + c² - 2.a.c.Cos B
b² = a² + c² - 2.a.c.Cos B

Maka didapatkan Aturan Cosinus sebagai berikut:


Dari aturan cosinus tersebut  kita menggunakan cara aljabar, maka akan didapat rumus untuk menentukan nilai dari cosinus salah satu sudut dalam segitiga.

               a²   = b² + c² - 2.b.c.Cos A
2.b.c.Cos A =  b² + c² - a²
         Cos A =  b² + c² - a²
                             2.b.c

⇔   Cos B =  a² + c² - b²
                             2.a.c

⇔   Cos C =  a² + b² - c²
                             2.a.b

3. Luas Segitiga

Perhatikan △ABC disamping !

Sin A = CD
                b
⇔ CD = b. sin A

Seperti yang kita ketahui dalam pelajaran matematika di Sekolah Dasar, rumus luas segitiga adalah:

½ x alas x tinggi


Dalam △ABC disamping

⇨ ½ x AB x CD
⇨  ½ x c x b.Sin A

Maka luas △ABC bisa didapat dengan rumus :

Luas △ = ½ b.c.Sin A

Luas △ = ½ a.c.Sin B

Luas △ = ½ a.b..Sin C


MARI BERLATIH DENGAN SOAL

1. Pada △ABC diketahui bahwa <A = 30°, BC = 6cm dan AC = 10cm. Maka tentukanlah nilai dari Sin B!


Pembahasan:

BC = a dan AC = b

   a       =    b  
Sin A     Sin B

  6     =     10  
Sin30°   Sin B

⇔ Sin B = 10 x Sin30°  ⇔  Sin B = 10 x ½   ⇔ Sin B = 5
                          6                                      6                            6

2. Pada △PQR diketahu besar <P = 60°, <R = 45° dan panjang QR adalah 8√3 cm. Tentukanlah panjang sisi PQ!

Pembahasan :

QR = p dan PQ = r

menurut aturan sinus      p     =     r             ⇔    8√3      =    r   
                                         Sin P      Sin R               Sin 60°     Sin 45°

  ⇔ r =   8√3 x Sin 45°  ⇔  r =   8√3  ½√2     ⇔ r = 8√2 cm
                   Sin  60°                          ½√3


3.  Perhatikan  △ABC disamping !
     Berapakah panjang sisi AC?


Pembahasan :

AB = c dan AC = b
besar <C = 180° - (75°+ 60°) = 45°

  b     =      c  
Sin B      Sin C

  b         =     20  
Sin 60°     Sin 45°

b  =  20 x Sin 60°  =   20 x  ½√3
            Sin 45°               ½√2

b  =  20√3  x √2    =   10√6cm
           √2      √2

4. Jika diketahui suatu △ABC memiliki panjang sisi c = 12√2cm, besar <A = 105° dan <C = 45° maka berapakah panjang sisi b?

Pembahasan :

Besar <B = 180° - (105° + 45°) = 30°


 b     =      c  
Sin B      Sin C

  b         =    12√2  
Sin 60°     Sin 45°


b = 12√2 x Sin  60°   = 12√2 x ½√3   =  12√3 cm
           Sin 45°                    ½√2


5. Ditentukan △PQR dengan panjang sisi QR = 4cm, PR = 10cm dan Sin Q = ½. Berapakah nilai Cos P?

Pembahasan :

QR = p dan PR = q


   p     =     q           ⇔    4         =    10  
 Sin P      Sin Q            Sin P           ½    


⇔ Sin P =  4 x ½   =  1
                      10           5  

⇔ Cos² P = 1 - Sin² P   ⇔ Cos² P = 1 - (⅕)²

⇔ Cos² P = 24/25  ⇔ Cos P = ⅖√6 cm


6. Sebuah △ABC memiliki panjang AB = 4 cm, BC = 6 cm dan AC = 8 cm. Nilai cos <ACB adalah...

Pembahasan :

Cos <ACB = BC² + AC² - AB²
                          2 x BC x AC

Cos <ACB = 6² + 8² - 4²   = 36 + 64 - 16    =  84    =  7
                         2 x 6 x 8               96                  96        8


7. Tentukan nilai X pada gambar segitiga dibawah!



Pembahasan : 

X² = 3² + 8² - 2.3.8.Cos 60°

X²  = 9 + 64 - 2.24.½
X² = 73 -24 = 49
X  = √49 = 7cm 


8. Ditentukan △KLM dengan KL = 9cm, KM = 8cm dan LM = 7cm. Nilai Sin K adalah...

Pembahasan :

Cos K = KL² + KM² - LM²
                  2 x KL x KM

Cos K =  9² + 8² - 7²  = 81 + 64 - 49   =   96    =  2
                 2 x 9 x 8            144                   144      3

⇔ Sin² K  = 1 -  Cos² K
⇔ Sin² K  = 1 -  (2/3)² 
⇔ Sin² K  = 1 -  4-/9 = 5/9
⇔ Sin  K   = √5/9   = ⅓√5 

9. Sebuah segitiga sama kaki ABC dengan panjang AB = AC = 8cm dan besar <ABC = 30°. Berapakah panjang sisi BC?

Pembahasan : 
BC²  = AB² + AC² - 2xABxACx Cos A

BC²  = 8² + 8² -  2 x 8 x 8 x (-½)

BC²  = 64 + 64 + 64 = 192

BC  = √192   = 8√3 cm

10. Pada △ABC diketahui a = 2√7cm, b = 4cm dan c = 6cm. Maka nilai Sin A adalah...

Pembahasan :

Cos A = b² + c² - a² 
                 2xbxc

Cos A = 4² + 6² - (2√7)²  =  16 + 36 - 28   =  24   = 1
                      2x4x6                      48                48      2

maka didapat besar <A = 60°

Sin 60° = ½√3



11. Pada △ABC diketahui <ABC = 60°, panjang sisi AB = 12cm dan panjang sisi BC = 15cm. Luas segitiga itu adalah...

Pembahasan :

Luas △ABC = ½ x AB x BC x Sin <ABC
                      
                      = ½ x 12 x 15 x ½√3

                      = 45√3 cm²


12. Berapakah luas sebuah segitiga sama sisi yang memiliki panjang sisi 12cm?

Pembahasan :

Segitiga sama sisi memiliki besar sudut yang sama yaitu 60° dan semua sisi memiliki panjang yang sama sehingga luasnya didapat seperti ini

Luas △ = ½ x s x s x Sin α
       
              = ½ x 12 x 12 x ½√3

              = 36√3 cm²


13. Berapakah luas segiempat ABCD pada gambar dibawah?
Pembahasan :

Luas △ABD = ½ x 3 x 8 x Sin  60° = 12 x ½√3 = 6√3 cm² 

Untuk menghitung luas  △CBD, terlebih dahulu hitung panjang sisi BD menggunakan aturan cosinus

BD² = 3² + 8² - 2 x3 x 8 x Cos  60°
BD² = 9 + 64 - 24 = 49
BD  = √49 = 7 cm

Perhatikan bahwa △CBD memiliki panjang sisi 7cm, 24 cm dan 25cm yang merupakan tripel pitagoras. Maka dapat disimpulkan bahwa △CBD adalah segitiga siku-siku sehingga luasnya adalah

Luas △CBD = ½ x 7 x 24 = 84 cm² 

Maka luas segiempat ABCD = Luas △ABD + Luas △CBD
                                                   = 6√3 cm²  + 84 cm² 
                                                   = (6√3 + 84) cm²



14. Jika △ABC memiliki besar <A = 65°, <B = 55°, panjang sisi AC = 6cm dan panjang sisi BC = 8cm, maka luas segitiga tersebut adalah

Pembahasan : 


Luas △ABC = ½ x AC x BC x Sin 60°
                       = ½ x 6 x 8 x ½√3
                       = 12√3 cm²


15. Tentukan luas segilima beraturan yang panjang jari-jarinya adalah 8 cm. 

Pembahasan : 

Perhatikan gambar dibawah ini !


Segilima beraturan terdiri dari 5 buah segitiga yang kongruen, maka luas segilima tersebut adalah 5 kali luas segitiga AOB dimana besar <AOB = 360°  = 72°
                                                                           5

Luas segi-5 = 5 x Luas △AOB
          
                     = 5 x ½ x 8 x 8 x Sin 72°
  
                    = 160 x 0,951

                    = 152,16 cm²
   

BIMBEL JAKARTA TIMUR 

















×
Berita Terbaru Update